Метод введения вспомогательных элементов

Часто встречаются задачи, в которых связь между данными (известными) и искомыми (неизвестными) установить непосредственно из текста задачи невозможно. Чтобы прояснить связь между данными и искомыми, следует ввести несколько вспомогательных элементов, главным образом путем замены неопределенных неизвестных – какими-то определенными элементами (величинами). То число вспомогательных элементов, которое надо ввести в данную задачу, называется степенью неопределенности задачи.

Задача 10(Задача Ньютона). Трава на лугу растет одинаково быстро и густо. Известно, что 79 коров поели бы всю траву за 24 дня, а 30 коров за 60 дней. На сколько дней хватит травы для 20 коров.

В вопросе задачи говорится о числе дней, за которые 20 коров поели бы всю траву на лугу. Однако связи между числом коров и числом дней явно нельзя проследить.

Такое же положение встречается в задачах на совместную работу, на движение по реке и т.д. В основном такие задачи содержат неопределенные неизвестные и тем самым эти задачи являются плохо определенными.

Чтобы сделать нашу задачу строго определенной, введем следующие вспомогательные элементы:

первоначальное количество травы на лугу – a единиц;

каждый день на лугу вырастает – b единиц травы;

каждая корова за один день съедает – c единиц травы.

Тогда в первом случае, когда 70 коров поели всю траву на лугу за 24 дня, всего травы было первоначально a единиц, и за 24 дня выросло еще 24∙b единицы; всего a + 24∙b единицы, и всю эту траву поели 70 коров, поедая каждая в один день c единиц, за 24 дня. Из этих зависимостей получаем такое уравнение:

a + 24∙b = 70 ∙ 24 ∙ c

Аналогично для второго случая получаем такое уравнение:

a + 60 ∙ b = 30 ∙ 60 ∙ c

Если искомое число дней обозначим через x, то получаем еще одно уравнение:

a + x ∙ b = 20 ∙ x ∙ c

В итоге мы получили систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными. Однако этот факт значения не имеет, так как все вспомогательные элементы в процессе решения полученной системы будут исключены.

Вычитая из уравнения уравнение, получим 36 ∙ b = 120 ∙ c, откуда находим, что c = 0,3 b. Подставляя это выражение вместо c в уравнение или, найдем, что a = 480 b. Подставляя выражения c и a через b из и в уравнение и, сокращая обе части полученного уравнения на b, получаем уравнение относительно х:

480 + х = 6 х. Отсюда находим, что х = 96.

Задача 11. Построить треугольник, если задан угол при одной из его вершин, высота, проведенная из этой же вершины и периметр.

Решение. Обозначим через a данный угол, через h – данную высоту, проведенную из вершины А, угол при которой равен a, и через р - данный периметр.

Выполним чертеж, на котором отметим a и h. Но заметим, что данные задачи использованы не все – на чертеже нет никакого отрезка длины р, равной периметру треугольника. Поэтому будем вводить р.

В треугольнике неизвестны три стороны а, b, с (через а обозначим сторону, противолежащую углу А). Используем обозначения длин сторон, тогда сможем записать, что а + b + с = р.

На продолжении стороны а отложим отрезок CE длиной b в одну сторону, а в другую сторону – отрезок BD длиной с. Таким образом, на чертеже оказывается построенным отрезок ED длиной а + b + с = р.

Наряду с отрезком ED введем вспомогательные отрезки AD и AE, каждый из которых является основанием равнобедренного треугольника.

Исследуя полученную фигуру, нетрудно обнаружить простое соотношение, связывающее угол EAD и A и данный угол a.

b h с

Е b С а В с D

Действительно, используя равнобедренные треугольники ABD и ACE, мы найдем, что величина угла DAE равна (a/2)+90°.

После этого вывода естественно будет построить треугольник DAE.

Таким образом, решение исходной задачи было сведено к решению некоторой – значительно более легкой – вспомогательной задачи.

Статьи о педагогике:

Система исторических понятий как основа понимания истории Украины
Формирование у учащихся с доступной для них глубиной понимания истории пронизывает весь процесс обучения истории в школе. Оно основывается на объяснении и на осмыслении сущности исторических явлений, разносторонних связей и отношений между ними. Сущность исторических явлений, познаваемая мышлением, ...

Методы оценки здоровья и особенности физиологического развития школьников
Развитие физических качеств оценивается по динамике показателей силы, выносливости, гибкости, ловкости, быстроты. Следует заметить, что степень развития физических качеств говорит и об уровне психического развития, а также о наличии у ребенка определенных задатков. Например, ловкость указывает на р ...

Этапы проектной работы
Главное отличие между обычной и проектной работой состоит в том, что при обычной работе основная деятельность ограничена рамками класса, а при проектной работе она выходит за его пределы. Полномасштабный проект включает три стадии: 1. Планирование в классе. Школьники при участии учителя обсуждают с ...