Метод введения вспомогательных элементов
Часто встречаются задачи, в которых связь между данными (известными) и искомыми (неизвестными) установить непосредственно из текста задачи невозможно. Чтобы прояснить связь между данными и искомыми, следует ввести несколько вспомогательных элементов, главным образом путем замены неопределенных неизвестных – какими-то определенными элементами (величинами). То число вспомогательных элементов, которое надо ввести в данную задачу, называется степенью неопределенности задачи.
Задача 10(Задача Ньютона). Трава на лугу растет одинаково быстро и густо. Известно, что 79 коров поели бы всю траву за 24 дня, а 30 коров за 60 дней. На сколько дней хватит травы для 20 коров.
В вопросе задачи говорится о числе дней, за которые 20 коров поели бы всю траву на лугу. Однако связи между числом коров и числом дней явно нельзя проследить.
Такое же положение встречается в задачах на совместную работу, на движение по реке и т.д. В основном такие задачи содержат неопределенные неизвестные и тем самым эти задачи являются плохо определенными.
Чтобы сделать нашу задачу строго определенной, введем следующие вспомогательные элементы:
первоначальное количество травы на лугу – a единиц;
каждый день на лугу вырастает – b единиц травы;
каждая корова за один день съедает – c единиц травы.
Тогда в первом случае, когда 70 коров поели всю траву на лугу за 24 дня, всего травы было первоначально a единиц, и за 24 дня выросло еще 24∙b единицы; всего a + 24∙b единицы, и всю эту траву поели 70 коров, поедая каждая в один день c единиц, за 24 дня. Из этих зависимостей получаем такое уравнение:
a + 24∙b = 70 ∙ 24 ∙ c
Аналогично для второго случая получаем такое уравнение:
a + 60 ∙ b = 30 ∙ 60 ∙ c
Если искомое число дней обозначим через x, то получаем еще одно уравнение:
a + x ∙ b = 20 ∙ x ∙ c
В итоге мы получили систему из трех уравнений с четырьмя неизвестными. Однако этот факт значения не имеет, так как все вспомогательные элементы в процессе решения полученной системы будут исключены.
Вычитая из уравнения уравнение, получим 36 ∙ b = 120 ∙ c, откуда находим, что c = 0,3 b. Подставляя это выражение вместо c в уравнение или, найдем, что a = 480 b. Подставляя выражения c и a через b из и в уравнение и, сокращая обе части полученного уравнения на b, получаем уравнение относительно х:
480 + х = 6 х. Отсюда находим, что х = 96.
Задача 11. Построить треугольник, если задан угол при одной из его вершин, высота, проведенная из этой же вершины и периметр.
Решение. Обозначим через a данный угол, через h – данную высоту, проведенную из вершины А, угол при которой равен a, и через р - данный периметр.
Выполним чертеж, на котором отметим a и h. Но заметим, что данные задачи использованы не все – на чертеже нет никакого отрезка длины р, равной периметру треугольника. Поэтому будем вводить р.
В треугольнике неизвестны три стороны а, b, с (через а обозначим сторону, противолежащую углу А). Используем обозначения длин сторон, тогда сможем записать, что а + b + с = р.
На продолжении стороны а отложим отрезок CE длиной b в одну сторону, а в другую сторону – отрезок BD длиной с. Таким образом, на чертеже оказывается построенным отрезок ED длиной а + b + с = р.
Наряду с отрезком ED введем вспомогательные отрезки AD и AE, каждый из которых является основанием равнобедренного треугольника.
Исследуя полученную фигуру, нетрудно обнаружить простое соотношение, связывающее угол EAD и A и данный угол a.
![]() |
b h с
Е b С а В с D
Действительно, используя равнобедренные треугольники ABD и ACE, мы найдем, что величина угла DAE равна (a/2)+90°.
После этого вывода естественно будет построить треугольник DAE.
Таким образом, решение исходной задачи было сведено к решению некоторой – значительно более легкой – вспомогательной задачи.
Статьи о педагогике:
Анализ и оценка опытно экспериментальной работы
III этап: на этом этапе подводился анализ всех мероприятий, проведенных с учениками по формированию у них познавательного интереса. Мы использовали ту же самую диагностику, чтобы посмотреть, какие изменения произошли в познавательном интересе у учащихся 2б класса, полученные результаты представлены ...
Описание и результаты опытно-экспериментальной работы
социокультурный мотивация французский язык В средней школе при обучении ИЯ возможности изучения языка одновременно с изучением национальной культуры, к сожалению, используются не в полной мере. Отсутствие достоверных источников о стране изучаемого языка приводит к тому, что убеждение учащихся форми ...
Пути повышения физической подготовленности учащихся на уроках
физической культуры
В организации занятий необходима цикличность развития физических качеств. На одном уроке развиваются выносливость и сила, на другом сила и быстрота, на третьем уроке выносливость, сила, быстрота. Гибкость и ловкость идут как «фоновые» физические качества, то есть они в различной степени развиваются ...
Меню
- Главная
- Воспитание трудолюбия дошкольников
- История развития педагогики
- Физическая культура в младших классах
- Детская и юношеская субкультуры
- Развитие женского образования в России
- Психология и педагогика
- Перспективы образования